Question

已知函数f（x）=

2

3

ax³+（a-1）bx²-2x+1，a∈R．
（1）当b=1时，讨论函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a=2且函数y=f（x）在（1，2）上存在增区间，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，再讨论a＞-1，a≤-1时的情况，进而得出函数的单调区间，
（2）求出函数f（x）的导数，得出4x²+2bx-2≥0在（1，2）恒成立，即b≥

1

x

-2x在（1，2）恒成立，令h（x）=

1

x

-2x，求出h（x）＜h（1）=-1，从而得出b的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

3

ax³+（a-1）bx²-2x+1，且b=1，
∴f′（x）=2（ax-1）（x+1），
①a=0时，f′（x）=-2（x+1），
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，+∞）递减；
-1＜a＜0时，
令f′（x）＞0，解得：

1

a

＜x＜-1，
令f（x）＜0，解得：x＞-1或x＜

1

a

，
∴f（x）在（-∞，

1

a

），（-1，+∞）递减，在（

1

a

，-1）递增；
②a≤-1时，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

a

，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜

1

a

，
∴f（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）递增，在（-1，

1

a

）递减；
③a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

a

，或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜

1

a

，
∴f（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）递增，在（-1，

1

a

）递减．．
（2）a=2时，f（x）=

4

3

x³+bx²-2x+1，
∴f′（x）=4x²+2bx-2，
若函数y=f（x）在（1，2）上存在增区间，
只需4x²+2bx-2≥0在（1，2）恒成立，
即b≥

1

x

-2x在（1，2）恒成立，
令h（x）=

1

x

-2x，则h′（x）=-

1

x2

-2＜0，
∴h（x）在（1，2）递减，
∴h（x）＜h（1）=-1，
∴b≥-1．

点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分离参数法求参数的范围，考查分类讨论思想，是一道综合题．