Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于点A、B，定直线x=4交x轴于点K，直线KA和直线KB的斜率分别是k₁、k₂．
（1）若直线l的倾斜角是45°，求线段AB的长；
（2）求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）直线l的方程是y=x-1，代入椭圆方程整理，利用韦达定理及|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|，可求线段AB的长；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及斜率公式，即可证明k₁+k₂=0．

解答：（1）解：直线l的方程是y=x-1，代入椭圆方程整理得：7x²-8x-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

．…2分
|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

2

•

( 8 7 )2+ 32 7

=

24

7

．…5分
（2）证明：当l⊥x轴时，由椭圆的对称性易知k₁+k₂=0；…6分
当l不与x轴垂直时，设其方程是：y=k（x-1）代入椭圆方程整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，易知其判别式△＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．…9分
而K（4，0）
则k₁+k₂=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

x1y2+y1x2-4(y1+y2)

(x1-4)(x2-4)

=

k[2x1xx-5(x1+x2)+8]

(x1-4)(x2-4)

=0
即k₁+k₂=0
综上总有k₁+k₂=0．…13分

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．