Question

4．已知△ABC的周长为$\sqrt{3}+1$，且$sinA=\sqrt{3}sinC-sinB$．
（1）求边c的长；    
（2）若△ABC的面积为$\frac{1}{3}sinC$，求角C的度数．

Answer 1

分析 （1）根据已知周长表示出a+b+c=$\sqrt{3}+1$，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，代入a+b+c=$\sqrt{3}+1$求出c的值，
（2）将得出关系式两边平方得到关系式a²+b²+2ab=3c²，利用三角形面积公式列出关系式，求出ab=$\frac{2}{3}$，利用余弦定理表示出cosC，利用特殊角的三角函数值即可得解．

解答 解：（1）∵$sinA=\sqrt{3}sinC-sinB$．
∴由正弦定理可得：a+b=$\sqrt{3}$c，
∵由△ABC周长为$\sqrt{3}+1$，
∴得到a+b+c=$\sqrt{3}+1$，即$\sqrt{3}$c+c=$\sqrt{3}$+1，
解得：c=1，
（2）已知等式sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，利用正弦定理化简得：a+b=$\sqrt{3}$c，
两边平方得：a²+b²+2ab=3c²，①
∵S_△ABC=$\frac{1}{3}$sinC，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，
∴ab=$\frac{2}{3}$，②
②代入①得：a²+b²+$\frac{4}{3}$=3c²，即a²+b²=3c²-$\frac{4}{3}$，
∴由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．