Question

14．已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-2π＜φ≤0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，-$\sqrt{3}$），已知|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，先求tanφ=-$\sqrt{3}$，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的单调减区间．
（3）由题意可得，当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，从而可得$\left\{{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}（m-1）+2m≥0}\\{2（m-1）+2m≥0}\end{array}}\right.$，可得m的范围．

解答 （本题满分为16分）
解：（1）∵角φ的终边经过点$P（1，-\sqrt{3}）$，
∴$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，
∵$tanφ=-\sqrt{3}，又∴φ=-\frac{π}{3}$…（2分）
∵|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{3}$，∴$ω=\frac{2π}{T}=3$…（4分）
∴$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{3}）$…（5分）
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
可得：x∈$[\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{18}，\frac{2}{3}kπ+\frac{11π}{18}]（k∈Z）$．
同理可得单调减区间为$[\frac{2}{3}kπ+\frac{5π}{18}，\frac{2}{3}kπ+\frac{11π}{18}]（k∈Z）$．…（9分）（无过程扣2分）
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{3}]，3x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴$sin（3x-\frac{π}{3}）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-\sqrt{3}，2]$…（11分）
令t=f（x），则不等式可化为（m-1）t+2m≥0对任意$t∈[-\sqrt{3}，2]$恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}（m-1）+2m≥0}\\{2（m-1）+2m≥0}\end{array}}\right.$，
∴$m≥\frac{1}{2}$．…（16分）

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．