Question

3．六棱锥P-ABCDEF中，底面是正六边形，顶点在底面的射影是底面正多边形中心，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（　　）

• A． 1：1
• B． 1：2
• C． 2：1
• D． 3：2

Answer 1

分析 利用等积法将两棱锥转化为两个同高棱锥的比，通过计算底面积得出体积比．

解答 解：设棱锥的高为h，
∵V_D-GAC=V_G-ACD=$\frac{1}{2}$V_P-ACD=$\frac{1}{6}$S_△ACD•h，
V_P-GAC=V_G-ACP=$\frac{1}{2}$V_B-APC=$\frac{1}{2}$V_P-ABC=$\frac{1}{6}$S_△ABC•h，
∴$\frac{{V}_{D-GAC}}{{V}_{P-GAC}}$=$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$．
设底面正六边形ABCDEF的边长为a，则S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$=2，
即$\frac{{V}_{D-GAC}}{{V}_{P-GAC}}$=2．
故选：C．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．