Question

18．函数f（x）=ax³-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是（　　）

• A． a≤0
• B． a＜0
• C． a≥0
• D． a＞0

Answer 1

分析 根据导数法确定函数单调性的方法和步骤，我们易求出函数f（x）=x³-ax在R上增函数时a的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大认谁必要”的原则，结合题目中的四个答案，即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=x³-ax的导函数为：
f'（x）=3x²-a，
当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，
则函数f（x）=x³-ax在R上增函数，
但函数f（x）=x³-ax在R上增函数时，
f'（x）≥0恒成立，故a≤0，
故A是充要条件，B是充分不必要条件，
C、D是既不充分也不必要条件，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，充要条件的判定，其中根据“谁小谁充分，谁大认谁必要”的原则，求a的取舍范围，是解答本题的关键．