Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，一条准线l：x＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ＝，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．

Answer 1

(1) ＋y²＝1 (2)①(x－1)²＋(y－1)²＝2或(x－1)²＋(y＋1)²＝2②点P在定圆x²＋y²＝2上

(1)由题设：，∴，∴b²＝a²－c²＝1，
∴椭圆C的方程为：＋y²＝1.
(2)①由(1)知：F(1,0)，设M(2，t)，
则圆D的方程：(x－1)²＋ ²＝1＋，
直线PQ的方程：2x＋ty－2＝0，
∵PQ＝，∴2＝，
∴t²＝4，∴t＝±2.
∴圆D的方程：(x－1)²＋(y－1)²＝2或(x－1)²＋(y＋1)²＝2.
②设P(x₀，y₀)，
由①知：，
即：，
消去t得：＝2，
∴点P在定圆x²＋y²＝2上