Question

如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足．

（1）求椭圆的方程以及点的坐标；
（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点．求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）定点坐标为，证明见详解．

试题分析：（1）设，然后利用建立关于的方程，然后利用得到的方程，两方程结合消去可得到的关系，再由条件中的离心率得到的关系，进行通过解方程组可求得的值，进行可求得椭圆的方程，以及点的坐标；（2）设．将直线代入椭圆方程消去的得到的二次方程，利用韦达定理可利用表示点的坐标．又设以线段为直径的圆上任意一点，然后利用可求得圆的方程，再令，取时满足上式，故过定点．
试题解析：（1），设，
由有，
又，，
于是，
又，，
又，，椭圆，且．
（2），设，由
，
由于（*），
而由韦达定理：，
，，
设以线段为直径的圆上任意一点，
由有
，
由对称性知定点在轴上，令，取时满足上式，故过定点．