Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）已知点和函数图像上动点,对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；
（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．

试题解析：

（1）函数的定义域为， ，

当时， ，故在上单调递减；

当时， ，故在上单调递减；

当时， ，解得故在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为对任意的，直线倾斜角都是钝角，即对任意的， ，即，即.

因为，令，

（i）当时，由（1）知， 在上单调递减，则由，故,此时满足.

（ii）当时，令，得，当时，即,函数在上单调递增，故的最大值为，解得与矛盾.

当时，即，函数在上单调递减，故的最大值为，得,此时.

当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增，故在的最大值为或，

所以，即，故，综上， 的取值范围为.