Question

17．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面BDF；
（Ⅲ） 求A点到面BDF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明四边形AMEO是平行四边形，可得AM∥OE，OE在平面BDE面内，AM在平面BDE面外，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得结论；
（Ⅱ）证明AC⊥BD，BD⊥AM，又BD∩OF=O，即可证明AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）利用V_A-BDF=V_F-ABD，求出A到面BDF的距离．

解答 （Ⅰ）证明：设底面对角线的交点为O，连接EO． …（1分）
∵M为EF的中点，四边形ACEF为矩形
∴EM∥AO且EM=AO
∴AM∥OE
又因为OE?平面BDE 且AM?平面BDE---------------------（3分）
∴AE∥平面BDE．------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：设AC与BD交于O点，连OF，OM
在矩形ACEF中，$AB=\sqrt{2}$，AF=1
所以，AOMF为正方形，故AM⊥OF---------------------（6分）
又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且交线为AC
在正方形ABCD中，故AC⊥BD
由面面垂直的性质定理，BD⊥面ACEF-
又AM?面ACEF
所以BD⊥AM----------------------------------------------------------（8分）
又BD∩OF=O，故AM⊥平面BDF---------------------（9分）
（Ⅲ）解：V_A-BDF=V_F-ABD，设A到面BDF的距离为h，∴$\frac{1}{3}{S_{△BDF}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•AF$---------------（11分）
∴$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$---------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定、三棱锥体积的计算，同时考查了计算能力，属于中档题．