Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1上一点P到其左、右焦点距离之比为1：3，则点P的坐标为（-1，3）；（-1，-3），点P到左准线的距离为$\frac{23}{2}$．

Answer 1

分析 先根据椭圆方程求得a和b，进而求得c，则椭圆的离心率可求．设P到焦点的距离分别是t和3t，根据椭圆的定义求得t，进而设出P的坐标，利用方程组求解坐标，利用准线方程求解第二个空．

解答 解：依题意可知a=10，b=6，∴c=8，
P到其左、右焦点距离之比为1：3，
设P到焦点的距离分别是t和3t，
根据椭圆定义可知t+3t=2a=20=4t
∴t=5，
设P（m，n），m＜0则$\left\{\begin{array}{l}（4-m）^{2}+{n}^{2}=25\\ \frac{{m}^{2}}{100}+\frac{{n}^{2}}{36}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=±3\end{array}\right.$，
点P的坐标为（-1，3）；（-1，-3）
∴点P到左准线的距离为：$\frac{{a}^{2}}{c}-1$=$\frac{23}{2}$
故答案为：（-1，3）；（-1，-3）；$\frac{23}{2}$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了考生对椭圆第一定义和准线方程以及方程组的解法的理解和运用．