Question

9．设数列{a_n}的首项a₁=t，S_n满足5S_n-3S_n-1=3（n≥2，n∈N^*），是否存在常数t，使得数列{a_n}为等比数列，若存在求出t，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 由己知可得5S_n+1-3S_n=3，和已知式子相减可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{5}$，由等比数列易得$\left\{\begin{array}{l}{t≠0}\\{\frac{3-2t}{5}≠0}\\{\frac{3-2t}{\frac{5}{t}}=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，解之可得．

解答 解：由己知可得5S_n-3S_n-1=3（n≥2，n∈N），①∴5S_n+1-3S_n=3，②
②-①得5a_n+1-3a_n=0（n≥2，n∈N），即5a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N）．
故n≥2，n∈N时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{5}$，
又∵5S₂-3S₁=3，∴5（a₂+t）-3t=3，故a₂=$\frac{3-2t}{5}$
∴{a_n}为等比数列的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}{t≠0}\\{\frac{3-2t}{5}≠0}\\{\frac{3-2t}{\frac{5}{t}}=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{3}{5}$时，{a_n}是以a₁=$\frac{3}{5}$，公比q=$\frac{3}{5}$的等比数列．

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及前n项和和通项公式的关系，属中档题．