Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（{a＞b＞0}）的离心率e=

3

2

，直线l：y=x+

2

与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁R与A₂Q交于点S，其中A₁，A₂为椭圆C的左、右顶点．问当m变化时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用直线l：y=x+

2

与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切，求出b，利用e=

3

2

，求出a，由此能求出椭圆C的方程．
（II）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．再进行一般性的证明．

解答： 解：（1）∵直线l：y=x+

2

与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切，
∴b=

2

2

=1，
∵e=

3

2

，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），
直线A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直线A₂Q的方程是y=

3

2

x-

3

交点为S₁（4，

3

）．
由对称性可知S₂（4，-

3

）．
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A₁P与A₂Q的交点S均在直线l：x=4上，
事实上，由直线x=my+1与椭得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，
记A₁P与l交于点S₀（4，y₀），
由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y₀=

6y1

x1+2

，
设A₂Q与l交于点S′₀（4，y′₀），
由

y0′

4-2

=

y2

x2-2

，得y₀′=

2y2

x2-2

，
∵y₀-y₀′=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=0
∴y₀=y′₀，即S₀与S′₀重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价变换．注意对称性的合理运用．