Question

已知椭圆C的焦点是F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），其上的动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4

3

．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l₁：y=x+2与椭圆C的交于A，B两点，求过O，A，B三点的圆的方程；
（Ⅲ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l₂交椭圆C于M，N两点，试证明：无论k取何值时，

RM

•

RN

恒为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4

3

，得2a=4

3

，再由2c=4

2

，能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）联立

x2+3y2-12=0 y=x+2

，得x²+3x=0，从而A（0，2），B（-3，-1），设所求圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，由此能求出圆的方程．
（Ⅲ）设l₂：y=kx+1，联立

y=kx+1 x2+3y2-12=0

，得（1+3k²）x²+6kx-9=0，点（0，1）在椭圆C内，得△＞0恒成立．由此利用韦达定理和向量数量积能证明

RM

•

RN

=0为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵|PF1|+|PF2|=4

3

，
∴2a=4

3

，
∵2c=4

2

，∴a²=12，b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的标准方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）解：联立方程得

x2+3y2-12=0 y=x+2

，得x²+3x=0，
解得x₁=0，x₂=-3，∴A（0，2），B（-3，-1），
设所求圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
依题有F=0，4+2E+F=0，10-3D-E+F=0，
解得D=4，E=-2，F=0，
所以所求圆的方程为：x²+y²+4x-2y=0．
（Ⅲ）证明：设l₂：y=kx+1，
联立方程组

y=kx+1 x2+3y2-12=0

，得（1+3k²）x²+6kx-9=0，
∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．
设M（x₁，kx₁+1），N（x₂，kx₂+1），
则x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1x2=

-9

1+3k2

，R（0，-2），

RM

=(x1，kx1+3)，

RN

=(x2，kx2+3)，

RM

•

RN

=x1•x2+(kx1+3)(kx2+3)
=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9
=(1+k2)×

-9

3k2+1

+3k×

-6k

3k2+1

+9
=

-9-9k2

3k2+1

+

-18k2

3k2+1

+9
=

-27k2-9

3k2+1

+9=-9+9=0，
∴

RM

•

RN

=0为定值．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查圆的方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，解题时要认真审题，注意向量数量积的合理运用．