Question

斜率为-1的直线过抛物线y²=-2px，（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求抛物线的方程．
（2）求∠AOB的余弦值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）AB的方程：y=-x-

p

2

与y²=-2px联立，利用韦达定理，结合|AB|=8，即可求抛物线的方程．
（2）利用向量的数量积公式，即可求∠AOB的余弦值．

解答： 解：（1）抛物线y²=-2px，（p＞0）的焦点F（-

p

2

，0）
直线AB的方程：y=-x-

p

2

与y²=-2px联立，并消去x得，y²-2px-p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

y1+y2=2p y1y2=-p2

，
∴|AB|=

1+( 1 -1 )2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

2

•

4p2+4p2

=4p
又|AB|=8，∴4P=8，p=2
∴抛物线方程为：y²=-4x…（6分）
（2）由（1）知，

y1+y2=4 y1y2=-4

，

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| 0A |•| OB

=

x1x2+y1y2

x12+y12 • x22+y22

=

y12y22 16 +y1y2

y14 16 +y12 • y24 16 +y22

=

1-4

y14y24 162 +y12y22+ y14y22+y12y24 16

=

-3

1+16+ y12y22(y12+y22) 16

=

-3

17+(y1+y2)2-2y1y2

=

-3

17+16+8

=-

3 41

41

，
∴∠AOB的余弦值为-

3 41

41

…（12分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积运算，属于中档题．