Question

函数f（x）=x³-ax²+1，是否存在实数a，使f（x）在区间[0，

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]上为减函数，且在区间（

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，1]上是增函数？并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件可得当x=

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时，函数f（x）取得极小值，利用f′（

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）=0，解方程即可．

解答： 解：假设存在实数a，使f（x）在区间[0，

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]上为减函数，且在区间（

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，1]上是增函数，
则当x=

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时，函数f（x）取得极小值，即f′（

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）=0，
∵f（x）=x³-ax²+1，
∴f′（x）=3x²-2ax，
即f′（

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）=3×（

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）²-2×（

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）a=0，解得a=

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，
此时f′（x）=3x²-2ax=3x²-

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x=3x（x-

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），
由f′（x）＞0，解得x＞

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或x＜0此时函数单调递增，满足函数在区间（

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，1]上是增函数，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

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，此时函数单调递减，满足函数在区间（0，

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]上是减函数，
故存在实数a=

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，满足条件．

点评：本题主要考查函数单调性，极值和导数之间的关系，根据条件求出a的值后，要注意进行检验．