Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长都为a，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，侧棱A₁A⊥平面ABCD，F为棱B₁B的中点，M为线段AC₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面AFC₁⊥平面A₁C₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-ABF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，易证BD⊥平面ACC₁A₁，而NA∥BD，从而有NA⊥平面ACC₁A₁，由面面垂直的判定定理即可证得平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）三棱锥C₁-ABF的体积，直接求解即可．

解答： （1）证明：（如上图）连结BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC、A₁A?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（7分）
而NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC₁A₁．
又∵NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁                                           …（9分）
（2）解：∵∠DAB=60°，∴C到AB的距离为：asin60°=

3

2

a，就是C₁到平面ABF的距离，AD=AA₁=a，
∴三棱锥A₁-AC₁F的体积：

1

3

×

1

2

AB•BF•

3

2

a=

1

3

×

1

2

×a×

1

2

a×

3

2

a=

3

24

a3…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判断及棱锥的体积，考查推理分析与运算能力，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．