Question

如图，在△ABC中，∠ACB=30°，D为AC上一点，∠ABD=30°，延长BD至E，连接AE、CE，若∠ECB=2∠EBC，则线段AE与CE的数量关系为

 

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Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用,立体几何

分析：如图所示，设O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，OD，OE．由∠ACB=30°，可得∠AOB=60°．△OAB是等边三角形．又∠ABD=30°，可得∠OBD=30°．因此BE⊥OA且平分OA．设∠OCA=α，则∠AOD=∠OAD=α．可得∠DEC=180°-∠EBC-∠ECB=3α．∠COD+∠DEC=180°．可得D、O、C、E四点共圆．因此∠DCE=∠DOE=∠DAE．于是AE=EC．

解答： 解：如图所示，设O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，OD，OE．
∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°．
∴△OAB是等边三角形．
又∠ABD=30°，∴∠OBD=30°．
∴BE⊥OA且平分OA．
设∠OCA=α，则∠AOD=∠OAD=α．
∴∠ODC=2α．∠COD=180°-3α．
∠OBC=∠OCB=30°-α．
∴∠EBC=30°+30°-α=60°-α．∠ECB=2∠EBC=120°-2α．∠DEC=180°-∠EBC-∠ECB=3α
∴∠COD+∠DEC=180°．
∴D、O、C、E四点共圆．
∴∠DCE=∠DOE=∠DAE．
∴AE=EC．

点评：本题考查了三角形外接圆的性质、等边三角形的性质、垂直平分线的性质、四点共圆的判定与性质、等腰三角形的判定，考查了推理能力和计算能力，属于难题．