Question

若关于x的不等式（组）0≤x²-

1

3

x-

2n

(2n+1)2

＜

2

9

任意n∈N^*恒成立，则所有这样的解x的集合是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行转化，利用对勾函数的性质，解一元二次方程即可得到结论．

解答： 解：不等式等价为

2n

(2n+1)2

-

2

9

≤x²-

1

3

x-

2

9

＜

2n

(2n+1)2

，
∵

2n

(2n+1)2

=

2n

(2n)2+2•2n+1

=

1

2n+ 1 2n +2

∈（0，

2

9

]，
∴

2n

(2n+1)2

-

2

9

∈（-

2

9

，0]，
∴要使

2n

(2n+1)2

-

2

9

≤x²-

1

3

x-

2

9

＜

2n

(2n+1)2

，对任意n∈N^*恒成立，
则0≤x²-

1

3

x-

2

9

≤0，
即x²-

1

3

x-

2

9

=0，解得x=-

1

3

或x=

2

3

，
故答案为：{-

1

3

，

2

3

}

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，基本不等式，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．综合性较强，有一定的难度．