Question

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（1）求C的方程；
（2）直线l是过曲线C的右焦点，且斜率为2的直线，该直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程,圆与圆的位置关系及其判定

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由两圆相外切得到|MP|=1+r，由⊙N与⊙P内切 得到|NP|=3-r，从而有根据|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，椭圆的定义可得P点的轨迹是以N，M为焦点的椭圆，求出a、b²的值，即得C的方程．
（2）求出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|即可．

解答： 解：（1）设点P（x，y），动圆P的半径为r，
∵⊙N与⊙P内切，∴|NP|=3-r，
∵⊙M与⊙P外切，∴|MP|=1+r，
∵|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，
∴P点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．|MP|+|NP|=4=2a，∴a=2，
∵|MN|=2c=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴P的轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）直线l的方程为y=2x-2，代入

x2

4

+

y2

3

=1，消去y得19x²-32x+4=0，
x₁+x₂=

32

19

，x₁•x₂=

4

19

．
∴|AB|=

1+22

•

( 32 19 )2-4( 4 19 )

=

60

19

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．弦长的求法常需要把直线与椭圆方程联立，考查分析问题解决问题的能力．