Question

已知二次函数f（x）满足：
①在x=1时有极值；
②图象过点（0，3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x²）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，根据题意列出方程组，求出a、b和c的值即可求出f（x）的解析式；
（2）首先求出函数g（x）的解析式，g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）；然后列表，分析出函数g（x）=f（x²）在[-2，2]的单调性，进而求出最大值和最小值即可．

解答： 解：（1）根据题意，设f（x）=ax²+bx+c，
则f′（x）=2ax+b．
则

f′(1)=0 f(0)=3 f′(2)=-2

，
即

2a+b=0 c=3 4a+b=-2

，
解得a=1，b=-2，c=3，
所以f（x）=x²-2x+3；
（2）g（x）=f（x²）=x⁴-2x²+3，
g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1），

x	[-2，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，2]
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↘		↗		↘		↗

根据图表，可得当x=-1或1时，函数g（x）的最小值为：g（1）=g（-1）=1-2+3=2，
当x=-2或2时，函数g（x）的最大值为：g（2）=g（-2）=16-8+3=11，
所以函数g（x）=f（x²）在[-2，2]上的最大值是11，最小值是2．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，以及函数极值条件和导数的几何意义的应用，属于中档题．