Question

已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，离心率e=

2

3

，一个顶点坐标为（0，

5

），以椭圆的右焦点为圆心的圆C与直线3x-4y+4=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）过点Q（0，-3）的直线m与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且为x₁x₂+y₁y₂=3时，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先根据椭圆的离心率e=

2

3

，一个顶点坐标为（0，

5

），求出椭圆的方程，进而求出椭圆的右焦点，即圆心的坐标；然后根据圆心到直线3x-4y+4=0的距离等于圆的半径，求出圆的半径，进而求出圆C的方程即可；
（2）首先设出过点Q（0，-3）的直线m的方程，与圆的方程联立，求出直线l的方程、求得圆心C到l的距离d、以及|AB|的值，即可求△AOB的面积．

解答： 解：（1）因为椭圆的一个顶点坐标为（0，

5

），
所以b²=5，
由离心率e=

2

3

，
可得

c

a

=

2

3

，a²-c²=5，
解得a²=9，c²=4，
所以椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

5

=1，右焦点坐标为（2，0）；
设圆C的方程为：（x-2）²+y²=r²，
因为圆C与直线3x-4y+4=0相切，
所以

|3×2-4×0+4|

32+42

=r，
解得r²=4，
因此圆C的方程为：（x-2）²+y²=4；
（2）设过点Q（0，-3）的直线m的方程为：y=kx-3，
把y=kx-3代入圆C的方程，可得（k²+1）x²-2（3k+2）x+9=0，
因为直线m与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以x₁+x₂=

2(3k+2)

k2+1

，x₁x₂=

9

k2+1

，y₁y₂=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9，
又因为x₁x₂+y₁y₂=3，
所以

9

k2+1

（k²+1）-3k•

2(3k+2)

k2+1

+9=3，
整理，可得k²+4k-5=0，
解得k=1或k=-5（舍去）；
①k=1时，直线m的方程为x-y-3=0，
圆心到直线m的距离是：

|2-0-3|

1+1

=

2

2

，
在△ABC中，因为|AB|=2×

22- 1 2

=

14

，
原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高h=

3

2

=

3

2

2

，
因此△AOB的面积=

1

2

|AAB|•h=

1

2

•

14

•

3 2

2

=

3 7

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的性质、直线与圆的位置关系、以及圆的方程的求法的运用，考查了一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．