Question

（2012•甘肃一模）（理科）已知函数f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使函数f（x）的导函数f'（x）≥2成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，由此可求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）由f（x）=2+sin（2x-

π

6

）得f′(x)=4cos(2x-

π

6

)，由f'（x）≥2，建立不等式，从而可求使函数f（x）的导函数f'（x）≥2成立的x的集合．

解答：解：（1）f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x=2+2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2+sin（2x-

π

6

）
∴当sin（2x-

π

6

）=1时，函数f（x）取得最大值4；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）由f（x）=2+sin（2x-

π

6

）得f′(x)=4cos(2x-

π

6

)
由f'（x）≥2得cos(2x-

π

6

)≥

1

2

，∴2kπ-

π

3

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

3

（k∈Z）
∴kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z）
∴使函数f（x）的导函数f'（x）≥2成立的x的集合为{x|kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．