Question

13．已知函数f（x）=（x²-4）（x-a），a为实数，f′（1）=0，则f（x）在[-2，2]上的最大值是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{50}{27}$

Answer 1

分析 求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f（x）在[-2，2]上的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=2x（x-a）+（x²-4），
∵f′（1）=2（1-a）-3=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=（x²-4）（x+$\frac{1}{2}$）=${x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-4x-2$，
f′（x）=3x²+x-4，
令f′（x）=0，则x=-$\frac{4}{3}$，或x=1，
当x∈[-2，-$\frac{4}{3}$），或x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；
当x∈（-$\frac{4}{3}$，1）时，f′（x）＜0，函数为减函数；
由f（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{50}{27}$，f（2）=0，
故函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为$\frac{50}{27}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，难度中档．