Question

数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=2S_n，求出a₂，a_n+1=2S_n，a_n=2S_n-1，n≥2，两式相减，得到{a_n}是从第二面开始起的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当n=1时，b₁=log₃1=0，当n≥2时，bn=log3(2•3n-2)=log₃2+n-2，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a₂=2S₁=2a₁=2，
a_n+1=2S_n，a_n=2S_n-1，n≥2，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∴{a_n}是从第二面开始起的等比数列，
且公比q=

an+1

an

=3，
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

．
（Ⅱ）当n=1时，b₁=log₃1=0，
当n≥2时，bn=log3(2•3n-2)=log₃2+n-2，
∴当n=1时，T₁=0，
当n≥2时，T_n=（n-1）log₃2+

(n-1)(n+2)

2

-2（n-1），
∴Tn=(n-1)log32+

(n-1)(n-2)

2

，
令n=1，T₁=0满足，
Tn=(n-1)log32+

(n-1)(n-2)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．