Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，沿AO将△AOD折起，使DB＝.

(1)求证：平面AOD⊥平面ABCO；
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明:∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD中点，
∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，即OB⊥OA.
取AO中点H，连接DH，BH，则OH＝DH＝，
在Rt△BOH中，BH²＝BO²＋OH²＝，
在△BHD中，DH²＋BH²＝²＋＝3，又DB²＝3，
∴DH²＋BH²＝DB²，∴DH⊥BH.
又DH⊥OA，OA∩BH＝H，∴DH⊥面ABCO，而DH?平面AOD，∴平面AOD⊥平面ABCO.
(2)解　分别以OA，OB所在直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，，0)，A(，0,0)，D，C.
∴＝(－，，0)，＝，＝.
设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由得
即x＝y，x＝z，令x＝1，则y＝z＝1，取n＝(1,1,1)．
设α为直线BC与平面ABD所成的角，则sin α＝＝.
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.