Question

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB₁＝3a，D是A₁C₁的中点，点F在线段AA₁上，当AF＝________时，CF⊥平面B₁DF.

Answer 1

a或2a

法一：由已知得B₁D⊥平面AC₁，
又CF?平面AC₁，∴B₁D⊥CF，
故若CF⊥平面B₁DF，则必有CF⊥DF.
设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF²＝x²＋4a²，
DF²＝a²＋(3a－x)²，又CD²＝a²＋9a²＝10a²，
∴10a²＝x²＋4a²＋a²＋(3a－x)²，
解得x＝a或2a.
法二：分别以BA、BC、BB₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，
则B(0,0,0)，B₁(0,0,3a)，设F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，
＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，
∵CF⊥面B₁DF，∴CF⊥B₁F，⊥，即·＝0，·＝0，
可得2a²＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.