Question

设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式，分别在[0，1]和（1，m]上求函数的最大值．
（2）函数有零点即对应方程有解，得到m的解析式m=h（x），通过导数符号确定h（x）=lnx-x|x-1|的单调性，由h（x）的单调性确定h（x）的取值范围，即得m的取值范围．

解答：解：（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=-x2+x+m=-(x-

1

2

)2+m+

1

4

∴当x=

1

2

时，f(x)max=m+

1

4

当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2-x+m=(x-

1

2

)2+m-

1

4

∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）_max=f（m）=m²
由m2≥m+

1

4

得：m2-m-

1

4

≥0又m＞1?m≥

1+ 2

2

．
∴当m≥

1+ 2

2

时，f（x）_max=m²；
当1＜m＜

1+ 2

2

时，f(x)max=m+

1

4

．
（2）函数p（x）有零点即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x²-x+lnx
∵h′(x)=2x+

1

x

-1≥2

2

-1＞0
∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0
当x∈（1，+∞）时，h（x）=-x²+x+lnx．
∵h′(x)=-2x+

1

x

+1=

-2x2+x+1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0
∴函数h（x）在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（1）=0
∴方程m=lnx-x|x-1|有解时，m≤0，
即函数p（x）有零点时m≤0

点评：本题考查用分类讨论的方法求函数最大值，利用导数求函数值域，及化归与转化的思想方法．