Question

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.

    （Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；

    （Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；

（Ⅲ）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2．

（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．

由，

得 ．

当且仅当，且时，达到最大值，

于是．

②当不是中的“元”时，计算的最大值，

由于，

所以．

            ，

当且仅当时，等号成立．

即当时，取得最大值，此时．

综上所述，的最大值为1．

（Ⅲ）因为满足．

由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况．

当时，有．

                       

                        ．

即，且，，时，

的最大值为．

当时，，

得最大值小于．

所以的最大值为．