Question

有下列命题：
①函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是（　　）

A．①②

B．③④

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：根据三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的图象与性质可得①不正确；根据函数图象平移公式，结合反比例函数为奇函数可得函数的对称中心为（1，1），得②不正确；根据二次函数根的判别式，可得③正确；由全称命题及其否定，可得④正确．由此可得本题的答案．

解答：解：∵函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）可化简为y=

1

2

sin（2x+

π

2

）
∴函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的周期为T=

2π

2

=π，
可得相邻两个对称中心的距离为半个周期即

π

2

，故①不正确；
∵函数y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，
∴函数y=

x+3

x-1

的图象，由y=

4

x

的图象先向右平移1个单位、再向上平移1单位而得．
因此函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（1，1）对称，得②不正确；
∵关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，
∴方程为含有等根的一元二次方程，可得△=4a²+4a=0，得a=-1（舍去0），故③正确；
∵命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，是一个全称命题
∴根据含有量词的命题否定，可得非p：存在x∈R，使得sinx＞1．故④正确．
综上所述，真命题的序号是③④
故选：B

点评：本题以命题的真假判断为载体，着重考查了三角函数的图象与性质、函数的图象的对称性和一元二次方程根的判别式等知识，属于基础题．