Question

关于函数f（x）=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y 轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为

①③

．

Answer 1

分析：①判断函数是偶函数即可．②利用复合函数的单调性进行判断．③利用复合函数的单调性进行证明．

解答：解：①f(-x)=lg?

(-x)2+1

|-x|

=lg?

x2+1

|x|

=f(x)，所以函数为偶函数，所以函数y=f（x）的图象关于y 轴对称，所以①正确．
②设t=

x2+1

|x|

，则t=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，当x＜0时，t=-x-

1

x

，t′=-1+

1

x2

=

1-x2

x2

，由t'＜0，解得x＜-1，此时函数t单调递减，
所以当x∈（-∞，0）时，数y=f（x）不是单调函数，所以②错误．
③由②知，当x＞1时，t=x+

1

x

，t′=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，所以此时函数t单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f（x）是增函数，所以③正确．
故答案为：①③

点评：本题主要考查与对数有关的复合函数的性质以及复合函数的单调性的应用，综合性较强．