Question

给出下列命题：
①?x∈R，不等式x²+2x＞4x-3均成立；
②直线x+a²y+6=0与直线（a-2）x+3ay+2a=0平行的充要条件是a=-1；
③若a＞b＞0且c＜0，则

c

a

＞

c

b

的逆否命题成立；
④若命题p：?x∈R，x²+1≥1，命题q：?x∈R，x²-x-1≤0，则p∧?q是真命题；
⑤双曲线的一个焦点到渐近线的距离为虚轴长．其中真命题有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①运用配方，即可判断①；
②由两直线的平行的条件，即可判断②；
③由不等式的性质，即可判断③；
④可判断命题p正确，命题q正确，则p∧?q是假命题，即可判断④；
⑤设出双曲线方程、焦点，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，即可判断⑤．

解答： 解：①不等式x²+2x＞4x-3即x²-2x+3=（x-1）²+2＞0，恒成立，故①对；
②由-

1

a2

=-

a-2

3a

，解得a=3或-1，当a=3时，方程均为x+9y+6=0，两直线重合，
当a=-1时，直线为x+y+6=0，3x+3y+2=0，平行，故②对；
③若a＞b＞0且c＜0，则

1

a

＜

1

b

，即有

c

a

＞

c

b

，原命题正确，由互为逆否命题等价，
可知其逆否命题正确，故③对；
④命题p正确，命题q正确，则p∧?q是假命题，故④错；
⑤设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，焦点为（c，0），渐近线方程为y=

b

a

x，
一个焦点到渐近线的距离d=

bc a

1+ b2 a2

=b，即为虚半轴长，故⑤错．
故答案为：①②③

点评：本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题的真假和充分必要条件的判断，同时考查双曲线的性质，属于中档题．