Question

下列结论：①a=1是函数y=3sin（2ax+1）+2的周期为π的充要条件；②若“存在x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命题，则1＜a＜9；③某人向一个圆内投镖，则镖扎到该圆的内接正三角形区域内的概率为

3 3

4π

．其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用正弦函数的周期公式计算即可求得a的值；
②依题意知，?x∈R，使得ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，从而由

a＞0 △=(a-3)2-4a＜0

可求a的取值范围；
③利用几何概型的概率公式可得答案．

解答： 解：①∵y=3sin（2ax+1）+2的周期为π，故

2π

2|a|

=π，解得a=±1，故①错误；
②若“存在x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命题，
则?x∈R，使得ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，
所以，

a＞0 △=(a-3)2-4a＜0

，解得1＜a＜9，故②正确；
③设该圆的半径为r=1，则2r=2，其内接正三角形的边长为2×sin60°=

3

，
因为该圆的面积S=π，其内接正三角形的面积S′=

1

2

×(

3

)2×

3

2

=

3 3

4

，
由几何概型的概率公式可得：镖扎到该圆的内接正三角形区域内的概率P=

3 3

4π

，故③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查正弦函数的周期性、特称命题与全称命题之间的关系，考查几何概型的概率公式，属于中档题．