Question

已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，可得△=36-4a＞0，即a＜9．设x²-6x+a=0的两个实数解为x₁，x₂．则|x₂-x₁|＜4，解出即可．

解答： 解：∵关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，
∴△=36-4a＞0，解得a＜9．
由x²-6x+a=0解得x=

6± 36-4a

2

=3±

9-a

．
∴3-

9-a

≤x≤3+

9-a

，
∵关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，
∴2

9-a

＜4，
解得a＞5．
∴5＜a＜9．
∵a∈Z，
∴a=6，7，8．
∴所有符合条件的a的值之和是21．
故答案为：21．

点评：本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．