Question

函数f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°）的值域为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和的正弦可求得sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=

1

2

sin（20°+x）+

3

2

cos（20°+x），再利用辅助角公式可得f（x）=7sin（20°+x+φ），于是可得其值域．

解答： 解：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]
=

1

2

sin（20°+x）+

3

2

cos（20°+x），
∴f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°）
=3sin（20°+x）+[

5

2

sin（20°+x）+

5 3

2

cos（20°+x）]
=

11

2

sin（20°+x）+

5 3

2

cos（20°+x）
=

( 11 2 )2+( 5 3 2 )2

sin（20°+x+φ）
=7sin（20°+x+φ），
∴f（x）∈[-7，7]，
故答案为：[-7，7]．

点评：本题考查两角和的正弦，着重考查三角恒等变换及其应用，求得f（x）=7sin（20°+x+φ）是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．