Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，双曲线 x²-y²=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1

Answer 1

分析 确定双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，可得（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．

解答 解：由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，∴边长为$2\sqrt{2}$，
∴（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，①
∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，则a²=2b²，②
联立①②解得：a²=6，b²=3．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆及双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键，是中档题．