Question

给出以下四个命题，所有真命题的序号为

 

．
①定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x）是周期函数；
②将函数y=sin2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin（2x-

π

6

）的图象；
③已知数列{a_n}，那么“对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上”是“{a_n}为等差数列”的充分不必要条件；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为

?

y

=1.23x+0.08．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用周期函数的定义可判断①正确；
②利用三角函数的平移变换可判知②错误；
③利用充分必要条件的概念与等差数列的概念可判断③正确；
④利用回归直线方程经过样本点中心的性质可判断④正确．

解答： 解：①∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是周期为2的函数，故①正确；
②令f（x）=sin2x，则f（x-

π

3

）=sin2（x-

π

3

）=sin（2x-

2π

3

）≠sin（2x-

π

6

），故②错误；
③∵对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上，即a_n=2n+1，
∴a_n+1-a_n=2，故{a_n}为等差数列，充分性成立；反之，若{a_n}为等差数列，对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）不一定在直线y=2x+1上，必要性不成立，故③正确；
④∵回归方程为

?

y

=1.23

x

+

b

经过样本点中心（4，5），
∴5=1.23×4+

b

，解得：

b

=0.08，
∴回归直线方程为

?

y

=1.23x+0.08，故④正确．
综上所述，所有真命题的序号为①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的周期性、三角平移变换、充分必要条件的概念及回归直线方程的应用，属于中档题．