Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱AD的中点，求二面角A-BD₁-P的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：设正方体的边长为2，取BD₁的中点E，连接PE，则PE⊥BD₁，过E在三角形ABD₁中，作EF⊥BD₁，交AD₁于F，连接FP，
则∠FEP即为二面角A-BD₁-P的平面角．由平面几何的知识，分别求出EF，EP，PF 的长，再由余弦定理，即可得到二面角的平面角的大小．

解答： 解：设正方体的边长为2，
由于P为AD的中点，
则BP=PD₁=

22+12

=

5

，
取BD₁的中点E，连接PE，则PE⊥BD₁，
由于AB⊥平面ADD₁A₁，
则AB⊥AD₁，
过E在三角形ABD₁中，作EF⊥BD₁，
交AD₁于F，连接FP，
则∠FEP即为二面角A-BD₁-P的平面角．
在三角形BD₁P中，PE=

( 5 )2-( 3 )2

=

2

，
EF=D₁Etan∠BD₁A=

3

•

2

2 2

=

6

2

，
D₁F=

( 3 )2+ 3 2

=

3 2

2

，AF=2

2

-

3 2

2

=

2

2

，
FP=

1 2 +1-2× 2 2 ×1× 2 2

=

2

2

．
在三角形FEP中，
cos∠FEP=

( 6 2 )2+( 2 )2-( 2 2 )2

2× 6 2 × 2

=

3

2

．
则∠FEP=60°．
即有二面角A-BD₁-P的大小为60°．

点评：本题主要考查空间二面角的求法，考查空间直线与平面的位置关系，考查运算能力，属于中档题．