精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=
π
3
,且△PF1F2的面积为2
3
,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.
分析:根据点P是双曲线的左支上的一点,及双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a,由,∠F1PF2=
π
3
,且△PF1F2的面积为2
3
,可以求得|PF2|•|PF1|的值,根据余弦定理可以求得a,c的一个方程,双曲线的离心率为2,根据双曲线的离心率的定义式,可以求得a,c的一个方程,解方程组即可求得该双曲线的方程.
解答:解:设双曲线方程为:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理,得:
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos
π
3

=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|•|PF2|.
即4c2=4a2+|PF1|•|PF2|.
又∵S△PF1F2=2
3

1
2
|PF1|•|PF2|•sin
π
3
=2
3

∴|PF1|•|PF2|=8.∴4c2=4a2+8,即b2=2.
又∵e=
c
a
=2,∴a2=
2
3

∴双曲线的方程为:
3x2
2
-
y2
2
=1.
点评:此题是个中档题.考查双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程,及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形,解题过程注意整体代换的方法,简化计算.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•红桥区一模)如图所示,双曲线
x2
16
-
y2
20
=1
上一点P到右焦点F2的距离是实轴两端点A1,A2到右焦点F2距离的等差中项,则P点到左焦点F1的距离为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•宣武区一模)在面积为9的△ABC中,tan∠BAC=-
4
3
,且
CD
=2
DB
.现建立以A点为坐标原点,以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系,如图所示.
(1)求AB、AC所在的直线方程;
(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程;
(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE(E、F为垂足),求
DE
DF
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知定圆O1、O2的半径分别为r1、r2,圆心距|O1O2|=2,动圆C与圆O1、O2都相切,圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为e1、e2,则
e1+e2
e1e2
的值为(  )
A、r1+r2
B、r1和r2中的较大者
C、r1和r2中的较小者
D、|r1-r2|

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2007年江苏省丹阳高级中学高三模拟试题一、数学 题型:013

如图所示,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC上的高分别为BD、AE,则以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为

[  ]

A.

B.1

C.

D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(08年鄞州中学模拟理)(15分) 在面积为9的中,,且。现建立以A点为坐标原点,以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系,如图所示。

(1)   求AB、AC所在的直线方程;

(2)   求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程;

(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE(E、F为垂足),求的值。

 

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案