Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=

1

2

，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判断{

1

Sn

}是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求S_n和a_n；
（3）求证：S12+S22+…+Sn2≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

（1）S₁=a₁=

1

2

，∴

1

S1

=2
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∴{

1

Sn

}为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知

1

Sn

=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=

1

2n

…（6分）
当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2•

1

2n

•

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

∴an=

1 2 n=1 - 1 2n(n-1) n≥2，n∈N

…（9分）
（3）S12+…+Sn2=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)≤

1

4

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)=

1

4

(1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

4

(2-

1

n

)=

1

2

-

1

4n

…（13分）