Question

【题目】已知函数，（，）．

（1）若，求的极值和单调区间；

（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）有极小值1，函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）.

【解析】

（1）写出函数解析式，求导，得当x变化时，，的变化情况表，从而求出极值与单调区间；

（2）将存在性问题转化为最值问题，得在区间上的最小值小于0，分类讨论，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，再求参数的范围．

（1）∵，∴（），∴

令，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

x		1
	-	0	+
	减	极小值	增

∴当时，函数有极小值1；

函数的单调减区间为，单调增区间为；

（2）若在区间上至少存在一点，使成立，

即在区间上的最小值小于0，

，（）令，得

①当时，

∴函数在区间上单调递减

∴函数在区间上的最小值为

∴由得，即

②当时，

（ⅰ）当即时，

∴函数在区间上单调递减

∴函数在区间上的最小值为

显然，这与在区间上的最小值小于0不符

（ⅱ）当即时

当x变化时，，的变化情况如下表：

x
	－	0	+
	减	极小值	增

∴函数在区间上的最小值为

∴由，得，即

∴综上述，实数a的取值范围是．