Question

【题目】已知函数．

(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；

(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．

解：(Ⅰ)当时，，

当时，在上恒成立，函数在上单调递减；

当时，由得：；由得：．

∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：

当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．

(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：

，，恒成立．

即，，恒成立．

令：，，，

则得，

由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴当时，，即

又∵，

∴实数的取值范围是：．