【题目】已知依次满足
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线
交以
为焦点的椭圆于
两点,线段
的中点到
轴的距离为
,且直线
与点
的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为
,是否存在椭圆上的点
及以
为圆心的一个圆,使得该圆与直线
都相切,如存在,求出
点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
【答案】(1)以原点为圆心,为半径的圆; (2)
; (3)存在点
,其坐标为
或
,使得直线
与以
为圆心的圆
相切
【解析】
(1)利用表示出
,从而得到轨迹方程;(2)利用直线与圆相切得到
,将直线方程代入椭圆方程,得到
,利用
求得
,从而得到椭圆方程;(3)利用圆心到直线距离等于半径得到
,再利用
在椭圆上可以求解出
点坐标,从而可求得结果.
(1)设,
则
则:
代入得:
点
的轨迹是以原点为圆心,
为半径的圆
(2)由题意可知直线斜率存在,设直线
的方程为
……①
椭圆的方程……②
由与圆相切得:
将①代入②得:
又,可得
设,
椭圆方程为:
(3)假设存在椭圆上的一点,使得直线
与以
为圆心的圆相切
则到直线
的距离相等,又
则,
则
化简整理得:
点在椭圆上
解得:或
(舍)
时,
椭圆上存在点
,其坐标为
或
使得直线与以
为圆心的圆
相切
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB,E为PC中点.
(Ⅰ)证明:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)若AB⊥平面PBC,△PBC是边长为2的正三角形,求点E到平面PAD的距离.
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【题目】下列说法中正确的个数是_________.
(1)命题“若,则方程
有实数根”的逆否命题为“若方程
无实数根,则
”.
(2)命题“,
”的否定“
,
”.
(3)若为假命题,则
,
均为假命题.
(4)“”是“直线
:
与直线
:
平行”的充要条件.
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【题目】在教材中,我们已研究出如下结论:平面内条直线最多可将平面分成
个部分.现探究:空间内
个平面最多可将空间分成多少个部分,
.设空间内
个平面最多可将空间分成
个部分.
(1)求的值;
(2)用数学归纳法证明此结论.
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【题目】以椭圆:
的中心
为圆心,
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,上顶点为
,且满足
,
.
(1)求椭圆及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆的“准圆”的一条弦
与椭圆
交于
、
两点,试证明:当
时,弦
的长为定值.
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【题目】已知椭圆:
在左、右焦点分别为
,
,上顶点为点
,若
是面积为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,
是椭圆
上的两点,且
,求使
的面积最大时直线
的方程(
为坐标原点).
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