【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间和零点；
（2）若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间：
；单调递增区间：
；零点为：
（2）
【解析】
（1）求导根据导函数正负得到单调区间；令
，再结合单调性可知唯一零点为；（2）将不等式转化为
图像恒在
上方，利用临界状态，即直线与相切的情况，求得相切时
；从而可构造出
，利用导数求得
，由此可得取值范围.
（1）
令
，解得：
所以函数在
上单调递减，在上单调递增
单调递减区间为，单调递增区间为
令，解得：
所以函数的零点是
（2）画出的大致图像，如图所示
设
，则
的图像恒过点
设函数
的图像在点
处的切线过点
所以
，
的图像在处的切线方程为
将代入切线方程，得
整理得：
设
令
，得或
所以
在
，上单调递增，在
上单调递减
又
，
，
所以
是方程
的唯一解
所以过点且与的图像相切的直线方程为
令，则
当
时，
；当
时，
又
，即在上恒成立
即函数的图像恒在其切线的上方
数形结合可知，
的取值范围
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，左顶点为A，右顶点B在直线
上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线
交直线
于点
，当点
运动时，判断以
为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】圆
的方程为：
，
为圆上任意一点，过作
轴的垂线，垂足为
，点
在
上，且
.
（1）求点的轨迹
的方程；
（2）过点
的直线与曲线交于
、
两点，点
的坐标为
，
的面积为
，求的最大值，及直线
的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[
，e]上有两个不等解，求a的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知圆O经过椭圆C：
=1（a＞b＞0）的两个焦点以及两个顶点，且点（b，
）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且|MN|=
，求直线l的倾斜角．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
依次满足
（1）求点
的轨迹；
（2）过点
作直线
交以
为焦点的椭圆于
两点，线段
的中点到
轴的距离为
，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点
的坐标为
，是否存在椭圆上的点
及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线
都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，过椭圆E：
（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P，Q两点，点A，B是椭圆E的顶点，且AB∥OP，F2为右焦点，△PF2Q的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F1作直线l与椭圆E交于C，D两点，若△OCD的面积为
，求直线l的方程．
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