【题目】已知,函数
讨论
的单调性;
若
是
的极值点,且曲线
在两点
处的切线相互平行,这两条切线在
轴上的截距分别为
,求
的取值范围
【答案】当
时,
在
上单调递减,无单调递增区间;当
时,
在
上单调递减,
上单调递增;
.
【解析】
(Ⅰ)求出导函数,对a分类讨论,解不等式即可得到函数的单调性;
(Ⅱ)由是
的极值点可知a=1,利用切线平行可得
,同理,
,构建新函数即可得到
的取值范围.
(Ⅰ).
当
时,
在
上恒成立.
在
上单调递减,无单调递增区间;
当
,且
,即
时,
在
上恒成立.
在
上单调递减,无单调递增区间;
当
,且
,即
时,在
上,
,在
上,
,
在
上单调递减,
上单调递增.
综上,当时,
在
上单调递减,无单调递增区间;当
时,
在
上单调递减,
上单调递增.
(Ⅱ)是
的极值点,
由
可知
设在处的切线方程为
在处的切线方程为
若这两条切线互相平行,则
,
令,则
,同理,
【解法一】
设,
,
在区间
上单调递减,
即的取值范围是
【解法二】
令,其中
函数
在区间
上单调递增,
.
的取值范围是
【解法三】
设,则
,
,
函数
在区间
上单调递增,
的取值范围是
.
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【题目】如图1,在边长为2的菱形中,
,将
沿对角线
折起到
的位置,使平面
平面
,
是
的中点,
平面
,且
,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的平均数和中位数;
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2,若在满意度评分值为
的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,右焦点为
,左顶点为A,右顶点B在直线
上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上异于A,B的点,直线交直线
于点
,当点
运动时,判断以
为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.
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【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且
.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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【题目】“科技引领,布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量。年,某企业连续
年累计研发投入搭
亿元,我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比,这
年间的研发投入(单位:十亿元)用右图中的折现图表示,根据折线图和条形图,下列结论错误的使( )
A. 年至
年研发投入占营收比增量相比
年至
年增量大
B. 年至
年研发投入增量相比
年至
年增量小
C. 该企业连续年研发投入逐年增加
D. 该企业来连续年来研发投入占营收比逐年增加
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【题目】圆的方程为:
,
为圆上任意一点,过
作
轴的垂线,垂足为
,点
在
上,且
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
、
两点,点
的坐标为
,
的面积为
,求
的最大值,及直线
的方程.
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【题目】已知依次满足
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线
交以
为焦点的椭圆于
两点,线段
的中点到
轴的距离为
,且直线
与点
的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为
,是否存在椭圆上的点
及以
为圆心的一个圆,使得该圆与直线
都相切,如存在,求出
点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
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