Question

【题目】以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.

（1）求椭圆及其“准圆”的方程；

（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据求得，再结合可得以及，即可解出，从而求出椭圆及其“准圆”的方程；

（2）先由弦轴时，求出原点到弦的距离，然后再证明弦不垂直于轴时，原点到弦的距离也为，根据弦长公式即可得到，即弦的长为定值．

（1）设椭圆的左焦点，

由得，

又，即，

且，所以，

则所求的椭圆的方程为，

椭圆的“准圆”方程为.

（2）证明：①当弦轴时，交点关于轴对称，

又，则，

可设，得，

此时原点到弦的距离；

②当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，

且与椭圆的交点，

联列方程组，

代入消元得：，

由，

可得，

由得，

即，所以，

此时成立，

则原点到弦的距离，

综上得，原点到弦的距离为，则，因此弦的长为定值．