【题目】设函数.
(1)若,证明:
;
(2)已知,若函数
有两个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)当时,利用导数求得函数
的最大值,由此证得不等式成立.(2)先求得
的表达式,将零点问题转化为
有两个不相等的实根来解决.显然
是方程的根.当
,构造函数
,利用导数来求得当
有一个不为零的零点时
的取值范围.
证明:(1)当时,
,
所以,
所以当时,
,此时函数
单调递增;
当时,
,此时函数
单调递减.
所以当时,函数
有极大值,也为最大值,
所以最大值为
,
所以.
(2)因为函数有两个零点可转化为
有两个零点,即关于
的方程
有两个不相等的实根,
易知0为方程的一个根,此时.
当时,只需
有一个不为0的零点即可,
当时,
,
故为减函数,
因为
,
,
故在
上仅有1个零点,且不为0,满足题意;
当时,
,不合题意;
当时,
,
,
,根据零点的存在性定理可知
在
上至少有1个零点,当
时,
为负数,故在
上也有零点,故不合题意.
综上,.
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【题目】以椭圆:
的中心
为圆心,
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,上顶点为
,且满足
,
.
(1)求椭圆及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆的“准圆”的一条弦
与椭圆
交于
、
两点,试证明:当
时,弦
的长为定值.
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【题目】2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示,其中时间段9:20~9:40记作区间,9:40~10:00记作
,10:00~10:20记作
,10:20~10:40记作
.比方:10点04分,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记为9:20~10:00之间通过的车辆数,求
的分布列与数学期望;
(3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻服从正态分布
,其中
可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,
可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).
参考数据:若,则
,
,
.
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【题目】已知椭圆:
在左、右焦点分别为
,
,上顶点为点
,若
是面积为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,
是椭圆
上的两点,且
,求使
的面积最大时直线
的方程(
为坐标原点).
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【题目】 在正方体ABCDA1B1C1D1中,若F,G分别是棱AB,CC1的中点,则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱
底面
,过
作
垂直
交
于
点,作
垂直
交
于
点,平面
交
于
点,点
为
上一动点,且
,
.
(1)试证明不论点在何位置,都有
;
(2)求的最小值;
(3)设平面与平面
的交线为
,求证:
.
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【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
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【题目】已知点,点P为平面上的动点,过点P作直线l:
的垂线,垂足为Q,且
.
Ⅰ
求动点P的轨迹C的方程;
Ⅱ
设点P的轨迹C与x轴交于点M,点A,B是轨迹C上异于点M的不同的两点,且满足
,求
的取值范围.
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