【题目】已知椭圆:
在左、右焦点分别为
,
,上顶点为点
,若
是面积为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,
是椭圆
上的两点,且
,求使
的面积最大时直线
的方程(
为坐标原点).
【答案】解(1);(2)
或
.
【解析】
(1)由是面积为
的等边三角形,结合性质
,列出关于
、
的方程组,求出
、
,即可得结果;(2)先证明直线
的斜率存在,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立消去
,利用弦长公式可得
,化简得
.原点
到直线
的距离为
,
的面积
,当
最大时,
的面积最大.由
,利用二次函数的性质可得结果.
(1)由是面积为
的等边三角形,得
,
所以,
,从而
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)由(1)知,当轴时,
,则
为椭圆
的短轴,故有
,
,
三点共线,不合题意.
所以直线的斜率存在,设直线
的方程为
,点
,点
,联立方程组
消去
,得
,
所以有,
,
则
,
即,化简得
.
因为,所以有
且
.
原点到直线
的距离为
,
的面积
,
所以当最大时,
的面积最大.
因为,而
,
所以当时,
取最大值为3,
面积的最大值
.
把代入
,得
,所以有
,
即直线的方程为
或
.
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【题目】已知依次满足
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线
交以
为焦点的椭圆于
两点,线段
的中点到
轴的距离为
,且直线
与点
的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为
,是否存在椭圆上的点
及以
为圆心的一个圆,使得该圆与直线
都相切,如存在,求出
点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
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【题目】40名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 (保留小数点后两位数字)和众数;
(3)从成绩在的学生中任选3人,求这3人的成绩都在
中的概率.
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【题目】如图,过椭圆E:(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P,Q两点,点A,B是椭圆E的顶点,且AB∥OP,F2为右焦点,△PF2Q的周长为8.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F1作直线l与椭圆E交于C,D两点,若△OCD的面积为,求直线l的方程.
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【题目】如图(一),在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥BC,AB=BC=CP,D是CP的中点,将△PAD沿AD折起,使点P到达点P′的位置得到图(二),点M为棱P′C上的动点.
(1)当M在何处时,平面ADM⊥平面P′BC,并证明;
(2)若AB=2,∠P′DC=135°,证明:点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离,并求出该距离.
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【题目】已知y=f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(-3,-1)上先增后减B.x=-2是f(x)极小值点
C.f(x)在(-1,1)上是增函数D.x=1是函数f(x)的极大值点
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