【题目】如图(一),在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥BC,AB=BC=CP,D是CP的中点,将△PAD沿AD折起,使点P到达点P′的位置得到图(二),点M为棱P′C上的动点.
(1)当M在何处时,平面ADM⊥平面P′BC,并证明;
(2)若AB=2,∠P′DC=135°,证明:点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离,并求出该距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取中点M,先证
与DM,AD垂直,进而证明AD⊥平面D
C,再证明平面
BC⊥平面ADM; (2)利用转换顶点三棱锥体积不变底面积相等易证点C到平面
AD的距离等于点
到平面ABCD的距离,并求该距离.
解:(1)当点M为C的中点时,平面ADM⊥平面
BC,
证明如下:∵D=DC,M为
C中点,
∴C⊥DM,
∵AD⊥DP,AD⊥DC,
∴AD⊥平面DC,
∴AD⊥C,
∴C⊥平面ADM,
∴平面BC⊥平面ADM;
(2)
证明:在平面CD上作
H⊥CD于H,
由(1)中AD⊥平面DC,
可知平面CD⊥平面ABCD,
∴H⊥平面ABCD,
由题意得D=2,∠
DH=45°,
∴H=
,
又,
设点C到平面AD的距离为h,
即=
,
由题意△ADC≌△AD,
∴H=h,
故点C到平面AD的距离等于点
到平面ABCD的距离,且距离为
.
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【题目】已知椭圆:
在左、右焦点分别为
,
,上顶点为点
,若
是面积为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知,
是椭圆
上的两点,且
,求使
的面积最大时直线
的方程(
为坐标原点).
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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱
底面
,过
作
垂直
交
于
点,作
垂直
交
于
点,平面
交
于
点,点
为
上一动点,且
,
.
(1)试证明不论点在何位置,都有
;
(2)求的最小值;
(3)设平面与平面
的交线为
,求证:
.
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【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
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【题目】如图,在直角梯形,
,
,
,点
是
的中点,现沿
将平面
折起,设
.
(1)当为直角时,求直线
与平面
所成角的大小;
(2)当为多少时,三棱锥
的体积为
;
(3)在(2)的条件下,求此时二面角的大小.
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【题目】设函数f(x)=(ax2-2x)ex,其中a≥0.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)在[-1,1]上为单调函数,求a的取值范围.
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