Question

数列{a_n}的通项a_n=（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3，若此数列的各项都是正数，则λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：计算题

分析：由题意得（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3＞0对所有的正整数都成立，分当n为偶数时、当n为奇数时，分别分离出λ后，利用数列的函数特性以及n的取值，求出式子的最大值或最小值，即得到λ的取值范围，再求两部分的交集．

解答： 解：由题意得，a_n=（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3＞0对所有的正整数都成立，
即（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3，
当n为偶数时，（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3化为：λ＞-3-

1

2n

对所有的正整数都成立，
又-3-

1

2n

＜-3对所有的正整数都成立，则λ≥-3，
当n为奇数时，（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3化为：λ＜3-

1

2n

对所有的正整数都成立，
又3-

1

2n

≥

5

2

对所有的正整数都成立，则λ＜

5

2

，
综上得，λ的取值范围是[-3，

5

2

），
故答案为：[-3，

5

2

）．

点评：本题考查数列的函数特性，以及恒成立问题转化为函数的最值问题，注意n的取值，属于中档题．